2021年高考数学北京18

18．（14分）为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“

$k$ 合1检测法”，即将

$k$ 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．
（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为

$\dfrac{1}{11}$ ，定义随机变量

$X$ 为总检测次数，求检测次数

$X$ 的分布列和数学期望

$E(X)$ ；
（2）若采用“5合1检测法”，检测次数

$Y$ 的期望为

$E(Y)$ ，试比较

$E(X)$ 和

$E(Y)$ 的大小．（直接写出结果）
分析：（1）

$)$ ①若采用“10合1检测法”，每组检查一次，共10次；又两名患者在同一组，需要再检查10次，即可得出结论．
②由题意可得：

$X=20$ ，30．由已知可得：

$P(X=20)=\dfrac{1}{11}$ ，进而得出

$P(X=30)$ 及其分布列与数学期望．
（2）

$E(X)<E(Y)$ ．
解：（1）

$)$ ①若采用“10合1检测法”，每组检查一次，共10次；
又两名患者在同一组，需要再检查10次，
因此一共需要检查20次．
②由题意可得：

$X=20$ ，30．

$P(X=20)=\dfrac{1}{11}$ ，

$P(X=30)=\dfrac{10}{11}$ ．
可得分布列：

$X$
20
30

$P$

$\dfrac{1}{11}$

$\dfrac{10}{11}$

$E(X)=20\times \dfrac{1}{11}+30\times \dfrac{10}{11}=\dfrac{320}{11}$ ．
（2）由题意可得：

$Y=25$ ，30．

$P(Y=25)=20\times \dfrac{{C}_{2}^{2}{C}_{98}^{3}}{{C}_{100}^{5}}=\dfrac{4}{99}$ ，

$P(Y=30)=\dfrac{95}{99}$ ．
可得分布列：

$Y$
25
30

$P$

$\dfrac{4}{99}$

$\dfrac{95}{99}$

$E(Y)=25\times \dfrac{4}{99}+30\times \dfrac{95}{99}=\dfrac{2950}{99}>\dfrac{2880}{99}=\dfrac{320}{11}$ ．

$E(X)<E(Y)$ ．
点评：本题考查了随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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