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18．（14分）为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“$k$合1检测法”，即将$k$个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．
（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为$\dfrac{1}{11}$，定义随机变量$X$为总检测次数，求检测次数$X$的分布列和数学期望$E(X)$；
（2）若采用“5合1检测法”，检测次数$Y$的期望为$E(Y)$，试比较$E(X)$和$E(Y)$的大小．（直接写出结果）
分析：（1）$)$①若采用“10合1检测法”，每组检查一次，共10次；又两名患者在同一组，需要再检查10次，即可得出结论．
②由题意可得：$X=20$，30．由已知可得：$P(X=20)=\dfrac{1}{11}$，进而得出$P(X=30)$及其分布列与数学期望．
（2）$E(X)<E(Y)$．
解：（1）$)$①若采用“10合1检测法”，每组检查一次，共10次；
又两名患者在同一组，需要再检查10次，
因此一共需要检查20次．
②由题意可得：$X=20$，30．
$P(X=20)=\dfrac{1}{11}$，$P(X=30)=\dfrac{10}{11}$．
可得分布列：
$X$
20
30
$P$
$\dfrac{1}{11}$
$\dfrac{10}{11}$
$E(X)=20\times \dfrac{1}{11}+30\times \dfrac{10}{11}=\dfrac{320}{11}$．
（2）由题意可得：$Y=25$，30．
$P(Y=25)=20\times \dfrac{{C}_{2}^{2}{C}_{98}^{3}}{{C}_{100}^{5}}=\dfrac{4}{99}$，$P(Y=30)=\dfrac{95}{99}$．
可得分布列：
$Y$
25
30
$P$
$\dfrac{4}{99}$
$\dfrac{95}{99}$
$E(Y)=25\times \dfrac{4}{99}+30\times \dfrac{95}{99}=\dfrac{2950}{99}>\dfrac{2880}{99}=\dfrac{320}{11}$．
$E(X)<E(Y)$．
点评：本题考查了随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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