2020年高考数学全国卷Ⅰ--理17<-->2020年高考数学全国卷Ⅰ--理19
如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，。是底面的内接正三角形，为上一点，。
（1）证明：平面。
（2）求二面角的余弦值。
（1）设，
所以圆的半径是，即。
根据圆内接三角形的性质可知，
因为是圆锥的顶点，是圆锥的底面圆心，
所以平面。
因为平面，所以，
则。
因为，所以，
同理，。
因为，所以。
同理可证。
因为，所以平面。
（2）如图所示，以所在直线为轴，过点平行于的直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，。
因为平面，
所以是平面的一个法向量。
设平面的法向量为。
有，。
令，得，。
所以。
因为，
且二面角是锐角，所以二面角的余弦值是。
本题主要考查空间向量的应用、空间直角坐标系以及直线与平面的位置关系 。
（1）先根据已知条件证明，然后根据空间中各线的长度关系证明和，又因为，所以平面。
（2）先建立合理的空间直角坐标系，写出对应点的坐标，然后求出两个面的法向量，再根据二面角是锐角，所以二面角的余弦值即为两法向量的余弦值的绝对值。
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