2019年高考数学浙江21<-->返回列表
（本题满分分）已知实数，设函数，。
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）对任意均有，求的取值范围。
注：为自然对数的底数。
（Ⅰ）当时，，，
。
令，即，即解不等式，
该不等式等价于，解得或，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为。
（Ⅱ）令。
（1）当时，由于，则，所以，
所以，
当时，，不符合题意，舍去。
（2）当时，由于，得，下面证明符合题意。
①当时，此时有，
记，
故
，
所以在上单调递减，所以，符合题意。
②当时，想证明，即，
记，这是一个关于的开口向下的二次函数，
当时，有，
所以在恒大于，
所以，在上单调递增，而，
所以当时，命题成立。
而当时，的对称轴随的增大而增大，
所以对称轴在的右侧，。
所以在上单调递增，
当时，，
当，，
又知，
所以在先减后增，
所以，命题成立，
综上所述，实数的取值范围是。
本题主要考查不等关系与不等式、对数与对数函数以及函数的概念与性质。
（Ⅰ）将的值代入式子，求导，对导数进行分析，即可得函数的单调区间，注意函数的定义域。
（Ⅱ）题目转化为在上恒成立，分和讨论，根据函数单调性来解出的取值范围。
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