2018年高考数学新课标2--文20<-->2018年高考数学新课标2--文22
已知函数。
（1）若，求的单调区间；
（2）证明：只有一个零点。
（1）当时，，
所以，令得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
综上所述，的单调递增区间为和，单调递减区间为。
（2）证明：因为，
所以等价于，
设，
则，当且仅当时，
所以在上单调递增，
则至多有一个零点，即至多有一个零点。
又因为，
，而在上连续，
则在上存在，使得。
故有且只有一个零点，且零点存在于。
综上所述，只有一个零点。
本题主要考查导数在研究函数中的应用和函数的概念与性质。
（1）将代入函数表达式，求导后通过讨论导数的正负可得到函数的单调区间。
（2）先通过构造函数，通过，可利用单调性确定函数零点的唯一性。通过、可以证明函数零点的存在，即函数存在唯一一个零点。
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