2018年高考数学新课标3--理19<-->2018年高考数学新课标3--理21
已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为（）。
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点，且。证明：，，成等差数列，并求该数列的公差。
（1）设直线的解析式为，点的坐标为，点的坐标为，
联立直线的解析式和椭圆的方程可得：，
因为线段的中点为，
所以，
即，①，
因为点为线段的中点，即点在椭圆内部，
因为，
所以可解得②，
又因为点在直线上，
所以③，
联立①②③可得，，
所以。
（2）因为，
所以，即，
因为为的右焦点，
所以，，
由（1）可知，，
所以，即点的横坐标为，
所以将点的横坐标代入椭圆方程可得，或。
因为，即、在轴上方，
所以点在轴下方，即，
故点为。
因为点在直线上，且，
联立方程得，得，，
故直线解析式为，
联立方程，
得，，，
即，
设，,
由椭圆的离心率定义可得，
，
故，，成等差数列。
故公差为。
本题主要考查圆锥曲线。
（1）设直线的解析式为，与椭圆方程联立，得到，再根据点在椭圆内得到，最后根据点在直线上，得到，联立三个方程即可求得的范围。
（2）先根据，求得和的坐标，再根据点坐标求出直线的解析式，将解析式与椭圆方程联立，最后根据椭圆的离心率的定义计算的值和的值，即可求解。
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