（1）f′(x)=−1x2−1+ax=−x2+ax−1x2，
对于二元一次方程−x2+ax−1=0，Δ=a2−4。
①当Δ<0时，即−2<a<2时，−x2+ax−1=0无解，
有x∈(0,+∞)时，f′(x)<0。
则此情况下，f(x)在(0,+∞)上单调递减。
②当Δ⩾0时，−x2+ax−1=0有解，
此时a⩾2或a⩽−2。
当a=2时，f′(x)⩽0恒成立，
解得x=−a±√a2−4−2，即x=a±√a2−42。
则当a>2时，在0<x<a−√a2−42及x>a+√a2−42时，f′(x)<0，
a−√a2−42<x<a+√a2−42时，f′(x)>0。
即f(x)在(0,a−√a2−42)及(a+√a2−42,+∞)上单调递减，
在(a−√a2−42,a+√a2−42)上单调递增。
当a⩽−2时，−x2+ax−1=0的两实数根均小于0，
则当x>0时，f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)上单调递减。
综上所述，当a⩽2时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；
当a>2时，f(x)在(0,a−√a2−42)及(a+√a2−42,+∞)上单调递减，
在(a−√a2−42,a+√a2−42)上单调递增。
（2）证明：若f(x)存在两个极值点x1、x2，则a>2。
则x1、x2是方程−x2+ax−1=0的两实数根。
设x1>x2，则x1=a+√a2−42，x2=a−√a2−42。
则f(x1)−f(x2)x1−x2=1x1−x2(1x1−1x2−x1+x2+alnx1−alnx2)
=1√a2−4[(1+1x1x2)(x2−x1)+alnx1x2]
=1√a2−4(−2√a2−4+alnx1x2)。
由于x1x2=1，则alnx1x2=alnx21=2alnx1。
有f(x1)−f(x2)x1−x2=−2+2alnx1√a2−4。
要证f(x1)−f(x2)x1−x2<a−2，即证2lnx1√a2−4<1。
即证2lna+√a2−42<√a2−4。
而x1−1x1=a+√a2−42−2a+√a2−4
=a+√a2−42−2(a−√a2−4)4=√a2−4
则2lnx1√a2−4<1可转化为2lnx1<√a2−4=x1−1x1。
当a=2时，f(x)=2lnx+1x−x在(0,+∞)上单调递减，
而f(1)=2×0+1−1=0，x1>1，
即f(x1)<f(1)=0，即2lnx1+1x1−x1<0，
有2lnx1<x1−1x1。
故f(x1)−f(x2)x1−x2<a−2。
