2017年高考数学山东--理20<-->返回列表
（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，椭圆：（）的离心率为，焦距为。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于，两点，是椭圆上的一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上的一点，且，的半径为，，是的两条切线，切点分别为，，求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率。
（Ⅰ）因为椭圆：的离心率为，则，焦距为，则，所以，，则，所以椭圆方程为。
（Ⅱ）由题知直线方程为：，与椭圆方程联立可得，解得，，所以线段。
对于直线：，与椭圆方程联立可得，即为，由题意知，所以，，所以线段。
取切线与的夹角，，令，则。又知，所以。令，所以，当时，有最大值，有最小值，有最大值，即此时的正弦值有最大值，取到最大值。此时，所以，代入可得正弦值，所以，。又，解得，即。
综上所述，的最大值为，取得最大值时直线的斜率为。
本题主要考查圆锥曲线。
（Ⅰ）根据焦距和离心率，利用即可求得椭圆的方程。
（Ⅱ）用直线的斜率表示直线的斜率，然后分别与椭圆联立，求得所截线段的长度，然后在内利用圆的性质和与的长度，写出的正弦值表达式，求出其取得最大值时的解，即可得到，的最大值和直线的斜率。
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