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2016年高考数学新课标3--理19

(2016新课标Ⅲ卷计算题)

(本小题满分12分)

如图,四棱锥中,底面为线段上一点,的中点。

(1)证明平面

(2)求直线与平面所成角的正弦值。

【出处】
2016年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ卷):理数第19题
【答案】

(1)连接,作,连接并延长交与点

因为底面,所以,所以,所以平面,因为的中点,,所以中点,所以,因为,所以,又因为,所以,所以,即,又因为,所以四边形是平行四边形,所以,又因为,所以平面平面,所以平面。      ......6分

(2)取中点,连接。因为,所以,可得。以为坐标原点,所在直线为轴建立直角坐标系,如图所示。

,因为的中点,则。设平面的一个法向量为,则,即,不妨设,则,即,则直线与平面所成角的正弦值为。      ......12分

【解析】

本题主要考查点、直线、平面的位置关系,空间直角坐标系。

(1)过点作底面垂线,再由已知条件中四棱锥的高与底面垂直,从而得到一组平行线,再利用过点所作垂线垂足作侧边平行线来构造另外一组平行线,使得存在两组相交直线相互平行,即可证得相交直线构成的平面平行,进而得出其中一面上的任一直线与另一平面平行,证毕。

(2)以体高在底面的垂足为原点建立空间直角坐标系,利用已知中已经给出的各边数量关系,表示出面的法向量和的坐标,从而求出直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值,再通过法向量方向的判断得出直线与平面的夹角正弦值。

【考点】
点、直线、平面的位置关系空间直角坐标系
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