2016年高考数学新课标1--文17<-->2016年高考数学新课标1--文19
（本小题满分12分）
如图，已知正三棱锥的侧面是直角三角形，，顶点在平面内的正投影为点，在平面内的正投影为点，连接并延长交于点。
（1）证明：是的中点；
（2）在图中作出点在平面内的正投影（说明作法及理由），并求四面体的体积。
（1）根据题意，因为为正三棱锥底面上的高，所以有平面，所以，又在平面上的正投影为，所以平面，所以，又，所以平面，所以，又，所以点为的中点； ......5分
（2）在平面内，过点作的平行线交于点，即为在平面内的正投影。
理由如下：由已知可得，，又，所以，，因此平面，即点为在平面内的正投影。
连接，因为在平面内的正投影为，所以是正三角形的中心，由（1）知，是的中点，所以在上，故，由题意可得平面，平面，所以，因此，。由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得，，在等腰直角三角形中，可得，所以四面体的体积。 ......12分
本题主要考查点、直线、平面的位置关系。
（1）因，要证是的中点，只需证明，所以只需证明垂直于的两条相交直线和即可，结合投影线的性质即可得证；
（2）作，因为可证得垂直于平面的两条相交直线和，所以是在平面的投影；根据线段的位置关系和长度，可求得、和的长度，即可求出四面体的体积。
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