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2016年高考数学上海--理21

(2016上海卷计算题)

(本小题满分14分)

双曲线)的左右焦点分别为,直线且与双曲线交于两点。

(1)若的倾斜角为是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;

(2)设,若的斜率存在,且,求的斜率。

【出处】
2016年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷):理数第21题
【答案】

(1)由题意可知的坐标为的坐标为,所以。因为的倾斜角为,所以轴,将代入双曲线方程,可得,则点坐标为的长度为,因为是等边三角形,所以,即,又因为,解得,所以,因此双曲线的渐近线方程为

(2)因为,所以,则过右焦点,设的方程为,则由可得方程,设,则①,,则,因为斜率存在,所以,化简可得,将①带入可得,因此的斜率为

【解析】

本题主要考查直线与圆锥曲线。

(1)根据题意,可求得过焦点的弦的端点的坐标,再根据三角形为正三角形,即可求得双曲线的基本量

(2)根据给出的基本量,设出直线的点斜式,与双曲线的方程联立,由韦达定理解出的关系式,再代入向量关系中,即可得到含直线斜率的方程,求解进而得到值,故可得到直线斜率的值。

【考点】
直线与圆锥曲线
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