2016年高考数学四川--文19<-->2016年高考数学四川--文21
（本小题满分13分）
已知椭圆：（）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上。
（1）求椭圆的方程。
（2）设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，线段的中点为，直线与椭圆交于，。证明：。
（Ⅰ）由题意知，，又因为点在椭圆上，所以，解得，，所以椭圆的方程为：；
（Ⅱ）设方程为，，，，，，联立椭圆与直线方程得，所以，，，，，所以；因为，所以直线方程为，同理联立椭圆与直线方程得，，所以，，，，所以，因为与共线反向，与共线反向，所以，即。
本题主要考查圆锥曲线。
（Ⅰ）将点带入椭圆，求解方程即可得出，的值，进而表示出椭圆方程；
（Ⅱ）设直线的方程，然后将直线方程与椭圆方程联立，通过化简可以得出方程，然后利用韦达定理求出两交点的横纵坐标关系，在向量中用横纵坐标关系表示待定参数，可以得出，得证。
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