2016年高考数学四川--理19<-->2016年高考数学四川--理21
（本小题满分13分）
已知椭圆：（）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线：与椭圆有且只有一个公共点。
（1）求椭圆的方程及点的坐标。
（2）设是坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点，，且与直线交于点。证明：存在常数，使得，并求的值。
（1）椭圆短轴的端点到两焦点距离相同，则该三角形为等腰直接三角形，所以，且，，将代入，得。椭圆与直线只有一个交点，所以，即，所以，，所以，，所以椭圆方程为，。
（2）由（1）得，设：，，，所以。联立与，可得，解得，所以，，所以，故存在这样的。
本题主要考查圆锥曲线。
（1）将直线方程代入椭圆方程中，根据求得椭圆方程的表达式；
（2）由（1）得，将用直线方程表示出来，联立与得到点的坐标，根据已知，表示出以及，观察两式的关系，即可得到要求的。
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