2015年高考数学山东--理20<-->返回列表
（本小题满分分）
设函数，其中。
（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若，成立，求的取值范围。
（I）由题意知，函数的定义域为，，令，。
（1）当时，，此时，函数在单调递增，无极值点；
（2）当时，。
①当时，，，，函数在单调递增，无极值点；
②当时，，设方程的两根为，（），因为，所以，。由，可得。
所以当时，，，函数单调递增；
当时，，，函数单调递减；
当时，，，函数单调递增。
因此函数有两个极值点。
（3）当时，，由，可得。
当时，，，函数单调递增；
所以函数有一个极值点。
综上所述，当时，函数有一个极值点；
当时，函数无极值点；
当时，函数有两个极值点。
（II）由（I）知，
（1）当时，函数在上单调递增，因为，所以时，，符合题意；
（2）当时，由，得，所以函数在上单调递增。又，所以时，，符合题意；
（3）当时，由，可得。所以时，函数单调递减；因为，所以时，，不合题意；
（4）当时，设，所以在上单调递增，因此当时，，即。可得，当时，，此时，不合题意。
综上所述，的取值范围是。
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（1） 求得已知函数的定义域为，求导后对的值分类讨论，令，利用根的判别式，将的情况分，讨论，分别求出不同情况下原函数的增减性，得到函数有两个极值点。
（2）利用（1）中结论，对的取值范围分类讨论，因为，因此求出不同情况下的增减性，再与比较即可。
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