2015年高考数学四川--理15

本题主要考查导数的含义以及利用导数研究函数的性质。

①项，因为在其定义域上是单调递增的，根据单调递增的定义可知：对于任意的、，恒有与同号，即恒成立。故①项符合题意；

②项，由题意可得在上单调递减，在上单调递增。当单调递减时，根据单调递减的定义可知：对于任意的、，恒有与异号，即 。故②项不符合题意；

③项，如下图所示，一个连续函数存在一条割线，则一定能在曲线上找到一个点，使得函数在点处的导数（即切线斜率）与割线斜率相同；反之，任意点均能够找到某一割线，使得函数在点处的导数（即切线斜率）与割线斜率相同。

下面使用反证法。假设即成立。

设函数，则，根据上述性质，存在，使得。

因为，所以存在某一，对于任意，都有成立，即可以取任意值。然而有最小值。实际上，令,。当时，有。当时，，单调递减；当时，，单调递增，即在处取最小值。因此当时，找不到某个使得，以上推论均不成立。故③项不符合题意；

④项，函数，。

。考查，令。恒成立。即在上单调递减。并且当趋于正无穷时，趋于负无穷；当趋于负无穷时，趋于正无穷，即。任取，存在某一，使得成立。

根据上述性质，存在，使得。故④项符合题意。

故本题正确答案为①④。