2015年高考数学湖南--文20<-->返回列表
（本小题满分13分）
已知，函数（）。记为从小到大的第个（）个极值点。
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）若对一切，恒成立，求的取值范围。
（Ⅰ），令，由，得，，。而对于，当时，若，即，则；
若，即，则。因此，在区间与上，的符号总相反。于是当，（）。此时，。易知，而是常数，故数列是首项为，公比为等比数列。
（Ⅱ）对一切，恒成立，即恒成立，亦即恒成立（因为），设（），则。令得。
当是，所以在区间上单调递减；
当是，所以在区间上单调递增。
因为，且当时，，，所以。因此，恒成立，当且仅当，解得，所以的取值范围为。
本题主要考查三角函数、导数的性质。
（Ⅰ）对函数求导，令，得出的表达式，确定的值域，进而确定的表达式，由，，问题得证；
（Ⅱ）对一切，恒成立，问题转化为恒成立。设（），对求导，判断单调性，求出最小值。因此，恒成立，当且仅当，解得。
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