2015年高考数学湖北--文20<-->2015年高考数学湖北--文22
（本小题满分14分）
设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数。，其中为自然对数的底数。
（Ⅰ）求，的解析式，并证明：当时，，；
（Ⅱ）设，，证明：当时，。
（I）由，的奇偶性及①
得。②
联立①②解得，。
当时，，，故。③
又由基本不等式，有，即。④
（II）由（I）得，⑤
，⑥
当时，等价于，⑦
等价于。⑧
设函数，
由⑤⑥，有。
当时，
（1）若，由③④，得，故在上为增函数，从而，
即，故⑦成立。
（2）
若，由③④，得，故在上为减函数，从而，
即，故⑧成立。
综合⑦⑧，得。
本题主要考查函数的性质与导数在研究函数中的应用。
（1）由函数的奇偶性可求得与的解析式，由指数函数的性质可判断；由基本不等式可判断。
（2）计算和，当时，化简不等式，可得到，；设函数，计算，对的取值范围进行分类讨论，即可证得原不等式成立。
全网搜索"2015年高考数学湖北--文21"相关
