2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：文数第16题<-->2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：文数第18题
（本小题满分13分）
如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，，分别是棱，的中点。
（Ⅰ）证明平面；
（Ⅱ）若二面角为，
（ⅰ）证明平面平面；
（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值。
解：（Ⅰ）
如图，取中点，连接，。因为为中点，故且。由已知有，，又由于为中点，因而且，故四边形为平行四边形，所以，又平面，而平面，所以平面。
（Ⅱ）（ⅰ）连接，因为，，而为中点，故，，所以为二面角的平面角。在中，由，，可解得。在中，由，，可解得。在中，，，，由余弦定理，可解得，从而，即。又，，从而，因此平面，又平面，所以平面平面。
（ⅱ）连接。由（i）知，平面，所以为直线与平面所成的角，由题意得为直角，而，可得，故，又，故在直角三角形中，。所以直线与平面所成角的正弦值为。
本题主要考查线面关系的判定。
（1）作出如图所示的辅助线，根据边角关系可得出与平面上的某条直线平行，又不在平面上，得证；
（2）（ⅰ）结合正余弦定理得到各边长，根据勾股定理得，与相结合即可得到证明；
（ⅱ）将直线“平移”得到某一个具体角为所要求的二面角，根据边角关系即可求得其正弦值。
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