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2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷):文数第17题

  2016-10-30 09:14:18  

(2014天津卷计算题)

(本小题满分13分)

如图,四棱锥的底面是平行四边形,分别是棱的中点。

(Ⅰ)证明平面

(Ⅱ)若二面角

(ⅰ)证明平面平面

(ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值。

【出处】
2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷):文数第17题
【答案】

解:(Ⅰ)

如图,取中点,连接。因为中点,故。由已知有,又由于中点,因而,故四边形为平行四边形,所以,又平面,而平面,所以平面

(Ⅱ)(ⅰ)连接,因为,而中点,故,所以为二面角的平面角。在中,由,可解得。在中,由,可解得。在中,,由余弦定理,可解得,从而,即。又,从而,因此平面,又平面,所以平面平面

(ⅱ)连接。由(i)知,平面,所以为直线与平面所成的角,由题意得为直角,而,可得,故,又,故在直角三角形中,。所以直线与平面所成角的正弦值为

【解析】

本题主要考查线面关系的判定。

(1)作出如图所示的辅助线,根据边角关系可得出与平面上的某条直线平行,又不在平面上,得证;

(2)(ⅰ)结合正余弦定理得到各边长,根据勾股定理得,与相结合即可得到证明;

(ⅱ)将直线“平移”得到某一个具体角为所要求的二面角,根据边角关系即可求得其正弦值。

【考点】
点、直线、平面的位置关系
【标签】
直接法


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