2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：理数第17题

（方法一）

依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，，，。由为棱的中点，得。

（Ⅰ）证明：向量，，故，所以，。

（Ⅱ）解：向量，。设为平面的法向量，则 ，即  不妨令，可得为平面的一个法向量，于是有，所以，直线与平面所成角的正弦值为 。

（Ⅲ）解：向量，，，。由点在棱上，设， 。故。由 ，得，因此，，解得 ，即。设为平面 的法向量，则 即 不妨令，可得为平面的一个法向量。取平面的法向量，则。

易知，二面角 是锐角，所以其余弦值为。

（方法二）

（Ⅰ）证明：如图，取中点，连接，。由于，分别为，的中点，故 ，且 ，又由已知，可得 且，故四边形 为平行四边形，所以。因为 底面，故，而，从而平面，因为 平面，于是 ，又，所以。

（Ⅱ）解：连接 ，由（Ⅰ）有平面，得，而，故 。又因为，为的中点，故，可得，所以平面，故平面平面。所以，直线在平面内的射影为直线，而，可得为锐角，故为直线与平面所成的角。依题意，有，而为中点，可得，进而。故在直角三角形中，，因此。所以，直线与平面所成角的正弦值为 。

（Ⅲ）如图，在中，过点作交 于点。因为底面，故底面，从而。又 ，得 平面 ，因此 。在底面内，可得，从而。在平面内，作交 于点，于是。由于 ，故，所以、、、四点共面。由 ，，得 平面，故。所以为二面角 的平面角。在中，，， ，由余弦定理可得，。所以二面角 的余弦值为。