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2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷):理数第17题

  2016-10-30 09:16:15  

(2014天津卷计算题)

(本小题满分13分)

如图,在四棱锥中,,,点为棱的中点。

(Ⅰ)证明:

(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;

(Ⅲ)若为棱上一点,满足,求二面角的余弦值。

【出处】
2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷):理数第17题
【答案】

(方法一)

依题意,以点为原点建立空间直角坐标系(如图),可得。由为棱的中点,得

(Ⅰ)证明:向量,故,所以,

(Ⅱ)解:向量。设为平面的法向量,则 ,即  不妨令,可得为平面的一个法向量,于是有,所以,直线与平面所成角的正弦值为 

(Ⅲ)解:向量。由点在棱上,设, 。故。由 ,得,因此,,解得 ,即。设为平面 的法向量,则 即 不妨令,可得为平面的一个法向量。取平面的法向量,则

易知,二面角 是锐角,所以其余弦值为

(方法二)

(Ⅰ)证明:如图,取中点,连接。由于分别为的中点,故 ,且 ,又由已知,可得 ,故四边形 为平行四边形,所以。因为 底面,故,而,从而平面,因为 平面,于是 ,又,所以

(Ⅱ)解:连接 ,由(Ⅰ)有平面,得,而,故 。又因为的中点,故,可得,所以平面,故平面平面。所以,直线在平面内的射影为直线,而,可得为锐角,故为直线与平面所成的角。依题意,有,而中点,可得,进而。故在直角三角形中,,因此。所以,直线与平面所成角的正弦值为 

(Ⅲ)如图,在中,过点交 于点。因为底面,故底面,从而。又 ,得 平面 ,因此 。在底面内,可得,从而。在平面内,作交 于点,于是。由于 ,故,所以四点共面。由 ,得 平面,故。所以为二面角 的平面角。在中,, ,由余弦定理可得。所以二面角 的余弦值为

【解析】

本题主要考查空间向量的应用。

(Ⅰ)建立空间直角坐标系,利用点积为零,两直线垂直;

(Ⅱ)利用直线方向向量与平面法向量的余弦求解;

(Ⅲ)利用平面法向量的关系求二面角。

【考点】
空间向量的应用
【标签】
建系法


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