2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）：文数第20题<-->返回列表
（本小题满分14分）
已知函数，其中，，为自然对数的底数。
（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；
（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，证明：。
（Ⅰ）由，有，所以。当时，。当时，，所以在上单调递增，因此在上的最小值是；当时，，所以在上单调递减，因此在上的最小值是；当时，令，得，所以函数在区间上单调递减，在区间单调递增，于是，在上的最小值是。综上所述，当时，在上的最小值是；当时，在上的最小值是；当时，在上的最小值是。
（Ⅱ）设为在区间内的一个零点，则由可知在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减。则不可能恒为正，也不可能恒为负。故在区间内存在零点。同理，在区间内存在零点。所以，在区间内至少存在两个零点。由（Ⅰ）知，当时，在上单调递增，故在区间内至多有一个零点。当时，在上单调递减，故在区间内至多有一个零点。所以。此时在区间上单调递减，在区间单调递增。因此，，必有，。由有，有，，解得。所以，函数在区间内有一个零点时，。
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（1）求得后，对其正负性进行讨论得到其单调区间，与区间大小进行讨论，故可得到其最小值；
（2）根据（1）中结论得到在区间内至多存在一个零点，故通过讨论端点处的函数值即可得到结论。
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