2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）：文数第20题<-->2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）：文数第22题
（本小题满分12分）
已知函数，。证明：
（Ⅰ）存在唯一，使；
（Ⅱ）存在唯一，使，且对（Ⅰ）中的，有。
（Ⅰ）当时，。所以在上为增函数，又，。所以存在唯一，使。
（Ⅱ）当时，化简得。令，记，。则。由（Ⅰ）得，当时，。当时，。在上为增函数，由知，当时，，所以在上无零点。在上为减函数，由及知存在唯一，使。于是存在唯一，。设，则。因此存在唯一的，使。由于，，所以。
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（Ⅰ）通过研究一定范围的函数的导数判断出函数在此范围内为单调函数，再根据函数值可以大于零也可以小于零，得出必有等于零的情况。
（Ⅱ）同上，通过函数的单调性判断唯一性。
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