2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）： 理数第21题<-->返回列表
（本小题满分14分）
随机将，，，这个连续正整数分成，两组，每组个数，组最小数为，最大数为，组最小数为，最大数为，记，。
（1）当时，求的分布列和数学期望；
（2）令表示事件“与的取值恰好相等”，求事件发生的概率；
（3）对（2）中的事件，表示的对立事件，判断和的大小关系，并说明理由。
（1）当时，的所有可能取值为：，，，。将个正整数平均分成，两组，不同的分组方法共有种，所以的分布列为：
。
（2）和恰好相等的所有可能取值为：，，，，。又和恰好相等且等于时，不同的分组方法有种；和恰好相等且等于时，不同的分组方法有种；和恰好相等且等于时，不同的分组方法有种；所以当时，，当时，。
（3）由（2）当时，，因此。而当时，，理由如下：等价于①用数学归纳法来证明：
当时，①式左边，①式右边，所以①式成立。
假设时①式成立，即成立，那么，当时，左边右边，即当时①式也成立。
综合，得：对于的所有正整数，都有成立。
本题主要考查概率及分布列。
（1）写出变量的可能取值及对应的概率值，即可列出分布列，从而求得数学期望；
（2）求出总基本事件个数及满足条件的事件个数，即可求解；
（3）写出两个概率，用数学归纳法求解即可。
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