2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）：理数第25题<-->返回列表
（本小题满分10分）
已知函数（），设为的导数，。
（1）求的值；
（2）对任意，等式都成立。
（1）由已知，得，于是，所以，，故。
（2）由已知，得，等式两边分别对求导，得，即，类似可得：，，。下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立。
（i）当时，，可知等式成立；
（ii）假设当时，等式成立，即，因为，，所以，因此当时，等式也成立。
综合（i）（ii）可知，等式对所有的都成立。
令，可得，所以。
本题主要考查导数、数学归纳法。
（1）根据为的导数，求出和的函数解析式，代入具体数值即可得解；
（2）由题意得：，求导，则，依次类推，得：，，，观察可知：，用数学归纳法证明上式，并代入即可。
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