2014年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）：理数第21题<-->返回列表
（本小题满分12分）
函数。
（Ⅰ）讨论的单调性。
（Ⅱ）设，，证明：。
（Ⅰ）的定义域为，。（i）当时，若，则，在是增函数；
若，则，在是减函数；
若，则，在是增函数。
（ii）当时，，成立当且仅当，在是增函数。
（iii）当时，若，则，在是增函数；
若，则，是减函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在是增函数。
当时，，即（）。
又由（Ⅰ）知，当时，在是减函数。
当，，即（）。
下面用数学归纳法证明。
（i）当时，由已知，故结论成立；
（ii）设当时结论成立，即，
当时，，，
即当时有，结论成立。
根据（i）、（ii）知对任何结论都成立。
本题主要考查导数在研究函数中的应用和数学归纳法。
（Ⅰ）求导后，可知导数的零点与的取值范围有关，因此对的取值范围进行讨论，得到结果；
（Ⅱ）对进行数学归纳法，关键在于使用（Ⅰ）中的结论。
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