2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）：文数第19题<-->返回列表
（本小题满分13分）
已知函数。
（Ⅰ）求在区间上的最大值；
（Ⅱ）若过点存在条直线与曲线相切，求的取值范围；
（Ⅲ）问过点，，分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）
（Ⅰ）由得。令，得或。因为，，，。所以在区间上的最大值为。
（Ⅱ）设过点的直线与曲线相切于点，则，且切线斜率为，所以切线方程为，因此。整理得。设，则“过点存在条直线与曲线相切”等价于“有个不同零点”。。与的情况如下：
所以，是的极大值，是的极小值。
当，即时，此时在区间和上分别至多有个零点，所以至多有个零点。
当且，即时，因为，，所以分别在区间，和上恰有个零点。由于在区间和上单调，所以分别在区间和上恰有个零点。
综上可知，当过点存在条直线与曲线相切时，的取值范围是。
（Ⅲ）过点存在条直线与曲线相切；
过点存在条直线与曲线相切；
过点存在条直线与曲线相切。
本题主要考查函数与方程。
（Ⅰ）通过导数求得最值。
（Ⅱ）把过的直线与曲线相切转化为函数的零点问题，再分类讨论。
（Ⅲ）画出函数图象，找出顶点，根据函数单调性画出草图，再根据给出的三个点的位置即可判断出切线数量。
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