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2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷):文数第20题

  2016-10-30 09:14:13  

(2014北京卷计算题)

(本小题满分13分)

已知函数

(Ⅰ)求在区间上的最大值;

(Ⅱ)若过点存在条直线与曲线相切,求的取值范围;

(Ⅲ)问过点分别存在几条直线与曲线相切?(只需写出结论)

【出处】
2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷):文数第20题
【答案】

(Ⅰ)由。令,得。因为。所以在区间上的最大值为

(Ⅱ)设过点的直线与曲线相切于点,则,且切线斜率为,所以切线方程为,因此。整理得。设,则“过点存在条直线与曲线相切”等价于“个不同零点”。的情况如下:

所以,的极大值,的极小值。

,即时,此时在区间上分别至多有个零点,所以至多有个零点。

,即时,此时在区间上分别至多有个零点,所以至多有个零点。

,即时,因为,所以分别在区间上恰有个零点。由于在区间上单调,所以分别在区间上恰有个零点。

综上可知,当过点存在条直线与曲线相切时,的取值范围是

(Ⅲ)过点存在条直线与曲线相切;

过点存在条直线与曲线相切;

过点存在条直线与曲线相切。

【解析】

本题主要考查函数与方程。

(Ⅰ)通过导数求得最值。

(Ⅱ)把过的直线与曲线相切转化为函数的零点问题,再分类讨论。

(Ⅲ)画出函数图象,找出顶点,根据函数单调性画出草图,再根据给出的三个点的位置即可判断出切线数量。

【考点】
导数在研究函数中的应用


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