2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）：理数第20题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）：理数第22题
（本题满分15分）
如图，点是椭圆：的一个顶点，的长轴是圆：的直径。，是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于，两点，交椭圆于另一点。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求面积取最大值时直线的方程。
（Ⅰ）由题意得，。
所以椭圆的方程为。
（Ⅱ）设。
由题意知直线的斜率存在，不妨设其为，则直线的方程为。
又圆：，故点到直线的距离，
所以。
又，故直线的方程为。
由，消去，整理得 ，故，所以。
设的面积为，则
所以
。
当且仅当时取等号。
所以所求直线的方程为。
本题主要考查椭圆的基本概念及椭圆、直线、圆的位置关系。
（Ⅰ）利用 点坐标求出，利用圆的方程求出，即可得椭圆方程。
（Ⅱ）易知直线斜率存在，可以设出的方程，由可求得的方程，的长度可以利用来求得，已知，求出到的距离，然后利用勾股定理即可。将与椭圆联立，可求得点坐标，然后可求得 的长度。，计算出的表达式，然后求其最大值即可。
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