2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）：文数第19题<-->返回列表
（本小题满分14分）
设，已知函数。
（1）证明在区间内单调递减，在区间内单调递增；
（2）设曲线在点处的切线相互平行，且，证明。
（1）设函数，，，
由，从而当时，，
所以函数在区间内单调递减。
，
由于，所以当时，，
当时，，即函数在区间内单调递减，在内单调递增。
综上及，可知函数在区间内单调递增，在区间内单调递增。
（2）由（1）知，在区间内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增。
因为曲线在点处的切线相互平行，
从而，，互不相等，且。
不妨设，由，
可得，解得，从而。
设，则，
由，解得，所以。
设，则，因为，所以，
故，即。
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（1）欲证得函数在某一区间的单调性，需判断该函数导函数在该区间的正负，故首先对该函数求导，然后利用一元二次不等式的知识求解本题即可。
（2）由于曲线切线互相平行建立导函数两两相等的等式，从而可得，， 的关系，最后根据配方法求证本小题即可。
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