2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）：理数第20题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）：理数第22题
（本小题满分12分）
已知函数，。当时，
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围。
（Ⅰ）要证时，，只需证明。记，则，当时，。因此在上是增函数，故，所以。要证时，，只需证明。
记，则，当时，，因为在上是增函数，故，所以，。综上，，。
（Ⅱ）
设，则。记，则，当时，，于是在上是减函数，从而当时，，故在上是减函数。于是，从而，所以，当时，在上恒成立。下面证明，当时，在上不恒成立。
记，则，当时，
故在上是减函数，于是在上的值域为，因为当时，，所以存在，使得，此时，即在上不恒成立。综上，实数的取值范围是。
本题主要考查函数中不等关系的证明以及两函数比较大小问题。
（Ⅰ）不等式拆成两部分，先证左半部分，用中间函数表示所求等式两边函数的差值函数，求导后根据导数的几何性质即可得证，等式右边也可同理得证；
（Ⅱ）同（Ⅰ）用差值函数间接计算，对差值函数逐步求导直到只与值有关的等式，根据差值函数的取值范围即求得的范围。
全网搜索"2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）：理数第21题"相关
