2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）：理数第19题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）：理数第21题
（本小题满分12分）
如图，抛物线，。点在抛物线上，过作的切线，切点为，（为原点时，，重合于）。当时，切线的斜率为。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当在上运动时，求线段中点的轨迹方程（，重合于时，中点为）。
（Ⅰ）因为抛物线上任意一点的切线斜率为，且切线的斜率为，所以点坐标为，故切线的方程为 。
因为点在切线抛物线上，于是
由①②得。
（Ⅱ） 设，，，，
切线、的方程为
由⑤⑥得、的交点的坐标为因为点在上，即，所以
由③④⑦得 ，当时，、重合于原点，中点为0，坐标满足
因此中点的轨迹方程为。
本题主要考查抛物线的解析式求解以及特殊点轨迹求解问题。
（Ⅰ）根据已知切线的斜率可求得点的坐标，再根据点的坐标代入到斜率求解公式中即可求得的值；
（Ⅱ）设出各点坐标值，列出切线方程求交点即可得到动点的坐标，再根据点在抛物线上列出等式求解即可。
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