2013年普等高等学校招生全国统一考试（湖南卷）：文数第19题<-->2013年普等高等学校招生全国统一考试（湖南卷）：文数第21题
（本小题满分13分）
已知分别是椭圆的左、右焦点，，关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点。
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为，。当最大时，求直线的方程。
（Ⅰ）先求圆关于直线对称的圆，由题知圆的直径为，所以圆的圆心，半径，
圆心与圆心关于直线对称，所以求出圆的圆心坐标为，圆的方程是：。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，据题可设直线方程为：。
这时直线可被圆和椭圆截得2条弦，符合题意。
圆：的圆心到直线的距离，
在圆中由勾股定理得。
设直线与椭圆相交于点，联立直线与椭圆方程，整理得：，
由椭圆的焦半径公式得
所以
令在上单调递增，在上单调递减。
令，当时，取最大值，这时直线方程为。
所以当取最大值时，直线方程为。
本题主要考查椭圆和圆的基本性质、点与直线的位置关系和不等式的基本性质等知识。
（Ⅰ）两焦点关于直线对称点是圆的一条直径上两个端点，则圆的直径是两焦点距离，圆心为原点关于直线的对称点，圆的方程即可求出。
（Ⅱ）直线被圆截的半弦长与圆心到直线距离和圆半径构成一个直角三角形，所以可求出；将直线方程与椭圆方程联立，运用韦达定理可以求出值，所以可以求出表达式。最后运用不等式的基本性质可以求出的最大值，此时直线方程即可求出。
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