2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）：文数第21题<-->返回列表
（本小题满分14分）
已知函数，（，为自然对数的底数）。
（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；
（2）求函数的极值；
（3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值。
（1）由，得。又曲线在点处的切线平行于轴，得，即，解得。
（2），①当时，，为 上的增函数，所以函数无极值。②当时，令，得，；
；所以在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，且极小值为，无极大值。
综上，当时，函数无极值；当时，在处取得极小值，无极大值。
（3）当时，。令，则直线：与曲线没有公共点，等价于方程在上没有实数解。假设，此时，又函数的图像连续不断，由零点存在定理，可知在上至少有一解，与“方程在 上没有实数解”矛盾，故。又时， ，知方程在上没有实数解。所以的最大值为1。
本题主要考查利用函数导函数研究函数。
（1）由题意可知，即可解得的值。
（2）求得导函数，对分类讨论，分别获得函数的极值。
（3）设为两个函数表达式的差，即可将问题转化为无实数解。对分类讨论，关键点为。
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