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2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷):文数第22题

  2016-10-30 08:48:41  

(2013福建卷计算题)

(本小题满分14分)

已知函数,(为自然对数的底数)。

(1)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;

(2)求函数的极值;

(3)当时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值。

【出处】
2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷):文数第22题
【答案】

(1)由,得。又曲线在点处的切线平行于轴,得,即,解得

(2),①当时, 上的增函数,所以函数无极值。②当时,令,得

;所以上单调递减,在上单调递增,故处取得极小值,且极小值为,无极大值。

综上,当时,函数无极值;当时,处取得极小值,无极大值。

(3)当时,。令,则直线与曲线没有公共点,等价于方程上没有实数解。假设,此时,又函数的图像连续不断,由零点存在定理,可知上至少有一解,与“方程 上没有实数解”矛盾,故。又时, ,知方程上没有实数解。所以的最大值为1。

【解析】

本题主要考查利用函数导函数研究函数。

(1)由题意可知,即可解得的值。

(2)求得导函数,对分类讨论,分别获得函数的极值。

(3)设为两个函数表达式的差,即可将问题转化为无实数解。对分类讨论,关键点为

【考点】
导数在研究函数中的应用
【标签】
函数与方程的思想等价转化思想


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