2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）：理数第19题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）：理数第21题
已知函数的周期为，图象的一个对称中心为，函数图像上的所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到的图像。
（1）求函数与的解析式；
（2）是否存在，使得，，按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定的个数，若不存在，说明理由；
（3）求实数与正整数，使得在内恰有个零点。
（1）由函数的周期为。因为，得。
又因为曲线的一个对称中心为，，
故，得，所以。
将函数的图像上所有点的横坐标延长到原来的倍（纵坐标不变）后得到的图像，所以。
（2）当时，，，
所以。
问题转化为方程在内是否有解。
设，，
则。
因为所以，在内单调递增。
又，，
且函数的图像连续不断，故可知函数在内存在唯一零点，即存在唯一的满足题意。
（3）依题意，。
现在讨论函数在上两点的情况。
设 ，则函数的图像时开口向下的抛物线，
又，，。
当时，函数有一个零点，，（另一个零点，舍去），在上有两个零点，且；
当时，函数有一个零点，有另一个零点，在和分别有两个零点。
由正弦函数的周期性，可知当 ，函数在内总有偶数个零点，从而不存在正整数满足题意。
当时，函数有一个零点，另一个零点 ；
当 时，函数有一个零点，另一个零点；
从而当或时，函数在有个零点。由正弦函数的周期性，，所以依题意得。
综上，当，或， 时，函数在内恰有个零点。
本题主要考查函数的对称中心、周期，图像的平移，等差数列的判别方法。
（1）根据已知的周期可以得到，再根据函数的对称中心建立一个方程求得。
（2）根据等差数列的条件，将问题转化为求解函数在区间内的取值范围问题。采用求导的方法确定最值。从而判断是否存在满足条件的及存在的个数。
（3）由于是关于的函数，所以它也是一个周期函数。所以可以先考虑在一个周期内的取值情况，这个问题采用换元法简化计算，令，从而将转化为关于的一元二次函数，求解在一个范围内的得取值范围，然后判断存在的零点个数，最后根据的周期性可得在整个区间范围内存在的总零点个数。
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