2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）：文数第19题<-->2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）：文数第21题
（本小题满分12分）
某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度），设该蓄水池的底面半径为 米，高为 米，体积为立方米。假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12000 元（ 为圆周率）。
（Ⅰ）将表示成 的函数，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）讨论函数的单调性，并确定 和 为何值时该蓄水池的体积最大。
（Ⅰ）因为蓄水池侧面的总成本为元，底面的总成本为元，所以蓄水池的总成本为（）元。又根据题意，所以， 从而。因 ，又由 可得 ，故函数 的定义域为。
（Ⅱ）因，故。 令，解得，(因不在定义域内，舍去）。 当时，，故在（0 , 5）上为增函数； 当时，，故 在上为减函数。由此可知，在处取得最大值，此时。即当 ，时，该蓄水池的体积最大。
本题主要考查利用函数解决实际问题的知识及应用导数求函数的最大值。
（Ⅰ）由已知条件可求得函数的表达式，进而得到然后利用条件求得该函数的定义域；
（Ⅱ）利用导函数求得该函数在定义域上的单调性和极大值，因为定义域为开区间，所以该极大值即为实际待求体积的最大值。
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