2012年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）：理数第22题<-->返回列表
（本小题满分14分）
设函数，，。
（Ⅰ）设，，，证明：在区间内存在唯一的零点；
（Ⅱ）设，若对任意，有，求的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设是在内的零点，判断数列的增减性。
（Ⅰ）。
因为，所以在内存在零点。
又当时，，
所以在上是单调递增的，
故在内存在唯一零点。
（Ⅱ）当时，。
对任意都有等价于在上的最大值与最小值之差，据此分类讨论如下：
（i）当，即时，
，题设矛盾。
（ii）当时，即时，
恒成立。
（iii)当时，即时，
综上可知，。
（Ⅲ）设是在内的唯一零点，
则的零点在内，故，
所以数列是递增数列。
本题主要考查函数的性质，导数的计算，以及导数在函数研究中的应用。
（Ⅰ）代入，，写出函数的解析式，首先通过证明在内存在零点，然后证明在上单调，则可证得“在内存在唯一零点”。
（Ⅱ）代入，写出函数解析式，为二次函数。问题“任意，有，求的取值范围”可转化为“求在上，使函数满足最大值与最小值之差小于等于的的取值范围”。结合二次函数图像性质，分类讨论，求出的取值范围。
（Ⅲ）因为是在内的零点，所以有，一定有。再将代入得，求解，若，则在左端，数列为递增数列；若，则在右端，数列为递减数列。
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