2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）：理数第22题<-->返回列表
（本题满分18分）
对于数集，其中，，定义向量集。若对于任意，存在，使得，则称具有性质。例如具有性质。
（1）若，且具有性质，求的值；
（2）若具有性质，求证：，且当时，；
（3）若具有性质，且，（为常数），求有穷数列的通项公式。
（1）选取，中与垂直的元素必有形式所以，从而。
（2）取。设满足。
由得，所以异号。
因为是中唯一的负数，所以之中一为，另一为，故。
假设，其中，则。
选取，并设满足，即。
则异号，从而之中恰有一个为。
若，则，矛盾。
所以。
（3）设，，则等价于。
记，则数集具有性质当且仅当数集关于原点对称。
注意到是中的唯一负数，共有个数，所以也只有个数。
由于，已有个数，对以下三角数阵
，
。
注意到，所以，从而数列的通项为。
本题主要考查集合和数列。
（1）由于具有该性质，所以必有任意向量都存在垂直向量，可以求出值。
（2）由于是集合里唯一的负数，可以通过向量验证出1必须在内，然后只要用反证法证明之间不存在即可。
（3）可以利用后一项比前一项的比值建立数集，最终求出后一项与前一项比是定值，从而是等比数列。
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