2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）：理数第21题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）：理数第23题
（本题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知双曲线。
（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线交于、两点，若与圆相切，求证：；
（3）设椭圆。 若、分别是、上的动点，且，求证：到直线的距离是定值。
（1）双曲线，左顶点，渐近线方程：。过点与渐近线平行的直线方程为，即。解方程组，得。所以所求三角形的面积为。
（2）设直线的方程是，因直线与已知圆相切，故，即。由，得。设、，则，又，所以
故。
（3）当直线垂直于轴时，，，则到直线的距离为。
当直线不垂直于轴时，设直线的方程为（显然），则直线的方程为。由得，所以，同理。设到直线的距离为。因为，所以，即。
综上，到直线的距离是定值。
本题主要考查双曲线的渐近线以及圆锥曲线中对韦达定理的综合应用。
（1）本题应该先求出题目中所要求的渐近线，找出所围成的三角形，进而求出其面积。
（2）本题应根据题目条件设出直线,因为直线与圆相切，可求出直线的表达式和实数的几何表示。欲证明，先要证明，先要求出的向量表示。即首先先要通过直线与双曲线方程的联立，根据韦达定理并不断化简，便可得到欲证结论。
（3）本题利用等价转化的思想。即通过两种不同的表示方式计算的面积，进而将距离导入代数式，建立与其他参量的联系。同时通过,用同一个量将表示出来。通过化简，便可证明欲证结论。
全网搜索"2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）：理数第22题"相关
