2012年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）：理数第20题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）：理数第22题
（本题满分13分）
已知三点，，，曲线上任意一点满足。
（1）求曲线的方程；
（2）动点()在曲线上，曲线在点处的切线为。问：是否存在定点，使得与，都相交，交点分别为，，且与的面积之比是常数？若存在，求的值。若不存在，说明理由。
（1）由，，得，由已知得，化简得曲线的方程：。
（2）假设存在点满足条件，则直线的方程是，的方程是，
曲线在处的切线的方程是，它与轴交点为，由于，因此。
①当时，，存在使得，
即与直线平行，故当时不符合题意。
②当时，，，所以与直线一定相交。
分别联立方程组，
解得，的横坐标分别是，，则，
又，有，
又，于是
对任意，要使为常数，则要满足
解得，此时，故存在，使与的面积之比是常数。
本题主要考查向量的基本运算法则和曲线与直线的相交。
（1）先根据所给的点，写出需要的向量的表达式。利用已知中给出的等式，将各个向量代入计算可得所满足的关系式，即是曲线的方程。
（2）先假设存在符合题意的，根据的坐标写出的方程。再将与都用含有式子表示出来，根据已知与的比值为常数，解出有意义的，故存在这样的。
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