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2012年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷):理数第21题

  2016-10-28 19:08:16  

(2012江西卷计算题)

(本题满分13分)

已知三点,曲线上任意一点满足

(1)求曲线的方程;

(2)动点()在曲线上,曲线在点处的切线为。问:是否存在定点,使得都相交,交点分别为,且的面积之比是常数?若存在,求的值。若不存在,说明理由。

【出处】
2012年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷):理数第21题
【答案】

(1)由,得,由已知得,化简得曲线的方程:

(2)假设存在点满足条件,则直线的方程是的方程是

曲线处的切线的方程是,它与轴交点为,由于,因此

①当时,,存在使得

与直线平行,故当时不符合题意。

②当时,,所以与直线一定相交。

分别联立方程组

解得的横坐标分别是,则

,有

,于是

对任意,要使为常数,则要满足

解得,此时,故存在,使的面积之比是常数

【解析】

本题主要考查向量的基本运算法则和曲线与直线的相交。

(1)先根据所给的点,写出需要的向量的表达式。利用已知中给出的等式,将各个向量代入计算可得所满足的关系式,即是曲线的方程。

(2)先假设存在符合题意的,根据的坐标写出的方程。再将都用含有式子表示出来,根据已知的比值为常数,解出有意义的,故存在这样的

【考点】
圆锥曲线直线与圆锥曲线平面向量的数量积


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