2012年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）：理数第18题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）：理数第20题
（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，为，，是的中点。
（1）求点C到平面的距离；
（2）若，求二面角的平面角的余弦值。
（1）由，为的中点，得又，故面，所以点到平面的距离为。
（2）解法一：如图，取 为 的中点，连结，则 ， 又由（1）知 面，故，所以 为所求的二面角的平面角。因 为 在面 上的射影，又已知，由三垂线定理的逆定理得，从而 、 互余，因此 ，所以。因此 ，即，从而 。所以，在中，。
解法二：如图，过作 交 于点 ，在直三棱柱中，易知，，两两垂直。以 为原点，射线，，分别为轴、轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系。设直三棱柱的高为，则，，，，，从而，。由，有，。，，，设平面的法向量为，则，，即，取，得，设平面的法向量为 ，则，，即，取 ，得，所以。 所以所求平面角的余弦值为。
本题主要考查点面距离和二面角的求解。
（1）取中点，连接，则可得，且由该三棱柱为直三棱柱，则有，故可得平面，即即为点到平面的距离，则可得所求距离为；
（2）①在不建立空间直角坐标系的情况下，需作出二面角的平面角。作，则，又，故 为所求的二面角的平面角。故在，可解得；
②以 为原点，射线 分别为 轴、轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系 。分别求得平面的法向量和平面的法向量，则可解得所求二面角的余弦值为。
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