2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）：理数第17题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）：理数第19题
（本小题满分13分）
已知函数（），。
（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公切线，求，的值；
（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值。
（1）由为公共切点可得：，则，，。则，，所以。又，，所以。即，代入上式可得：。
（2）因为，设，则。令，解得：，。因为，所以。所以原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增。
①若，即时，最大值为，
②若，即时，最大值为
③若时，即时，最大值为。
综上所述：当时，最大值为；当时，最大值为。
本题主要考查函数求导的应用问题。
（1）分别对函数，求导，得到导函数，，然后代入交点处的横坐标值，有，再代入坐标值，联立得，的值；
（2）对函数求导得，当时，单调递增，求得的的取值范围即为单调增区间；当时，单调递减，求得的的取值范围即为单调减区间。然后在区间上分析单调性，这里需要对，的值进行讨论，则可得最大值。
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