2012年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）：理数第17题<-->2012年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）：理数第19题
（本小题满分12分）
平面图形如左图所示，其中是矩形，，，，。现将该平面图形分别沿和折叠，使与所在平面都与平面垂直，再分别连结，，，得到如右图所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题。
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求的长；
（Ⅲ）求二面角的余弦值。
（Ⅰ）取，的中点分别为和，连结，，，。由条件可知，，。由上可得平面，平面，因此，即、确定平面。又因为，，所以。又，所以平面，故。
（Ⅱ）延长到点，使，连结。因为与平行且相等，所以，，平行且相等。由于平面，所以。由条件可知，，，所以。
（Ⅲ）因为平面，所以为二面角的平面角。在中，，，解得，，即二面角余弦值为。
本题主要考查立体几何中直线、面之间的位置关系以及线段长度、二面角的计算问题。
（Ⅰ）证明两条直线异面垂直，一般考虑证明其中一条直线垂直于某个过另一条直线的平面。本题中取中点，易证明平面；
（Ⅱ）求的长度。可以考虑将其放到一个三角形中。本题过做底面的垂线，垂足为，易证明与的交点即为的中点，且，再应用勾股定理即可；
（Ⅲ）先做出这个二面角的平面角，本题中易证明即为所求。可以考虑把拆分成和来求；也可以考虑在中应用余弦定理。
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