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2012年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷):理数第18题

  2016-10-28 19:07:33  

(2012安徽卷计算题)

(本小题满分12分)

平面图形如左图所示,其中是矩形,。现将该平面图形分别沿折叠,使所在平面都与平面垂直,再分别连结,得到如右图所示的空间图形,对此空间图形解答下列问题。

(Ⅰ)证明:

(Ⅱ)求的长;

(Ⅲ)求二面角的余弦值。

【出处】
2012年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷):理数第18题
【答案】

(Ⅰ)取的中点分别为,连结。由条件可知,。由上可得平面平面,因此,即确定平面。又因为,所以。又,所以平面,故

(Ⅱ)延长点,使,连结。因为平行且相等,所以平行且相等。由于平面,所以。由条件可知,,所以

(Ⅲ)因为平面,所以为二面角的平面角。在中,,解得,即二面角余弦值为

【解析】

本题主要考查立体几何中直线、面之间的位置关系以及线段长度、二面角的计算问题。

(Ⅰ)证明两条直线异面垂直,一般考虑证明其中一条直线垂直于某个过另一条直线的平面。本题中取中点,易证明平面

(Ⅱ)求的长度。可以考虑将其放到一个三角形中。本题过做底面的垂线,垂足为,易证明的交点即为的中点,再应用勾股定理即可;

(Ⅲ)先做出这个二面角的平面角,本题中易证明即为所求。可以考虑把拆分成来求;也可以考虑在中应用余弦定理。

【考点】
点、直线、平面的位置关系
【标签】
定义法图解法


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