2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）：文数第21题<-->返回列表
（本小题满分15分）
如图，设是抛物线上的动点。过点做圆的两条切线，交直线于两点。
（1）求的圆心到抛物线准线的距离。
（2）是否存在点，使线段被抛物线在点处的切线平分，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
（1）因为抛物线的准线方程为：，所以圆心到抛物线的准线的距离为：。
（2）设点的坐标为，抛物线在点处的切线交直线于点，再设的横坐标分别为，
过点的抛物线的切线方程为：
当时，过点与圆的切线为：，
可得。
可得，所以。
设切线的斜率为，则
将分别代入①②③得
。
从而，又，
即。
同理，。
所以是方程的两个不相等的根，
从而。
因为，所以，即。
从而，进而得。
综上所述，存在点满足题意，点的坐标为。
本题主要考查抛物线几何性质以及直线、圆和抛物线知识的综合应用。
（1）抛物线准线方程为，圆心纵坐标为，故所求距离为。
（2）设，分别表示出直线和切线的方程，根据线段被切线平分建立等式，判断有无实数解，如果有实数解，则存在这样的点，解出点坐标即可，如果没有实数解，则没有这样的点。
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