2011年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）：文数第21题<-->2011年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）：文数第23题
（本题满分10分）
选修4-1：几何证明选讲
如图，分别为的边上的点，且不与的顶点重合。已知的长为，长为，，的长是关于的方程的两个根。
（Ⅰ）证明： 四点共圆；
（Ⅱ）若，且，求所在圆的半径。
（Ⅰ）连接，由题意，在和中， ，即。 ......2分
又，从而， ......3分
因此 。 ......4分
所以，、、、四点共圆。 ......5分
（Ⅱ）时，方程的两根为，故 。 ......6分
取的中点，的中点，分别过作的垂线，两垂线相交于点，连接。
因为四点共圆，所以四点所在圆的圆心为，半径为。
由于 ，故，， ......8分
故，。
故四点所在圆的半径为。 ......10分
本题主要考查圆及初等函数的性质。
（Ⅰ）证四点共圆的方法包括：1、三点共圆，证第四点也在圆上。2、两个同侧共底边三角形顶角相等。3、四边形对角互补，即其一个外角等于其邻补角的内对角。4、相交弦定理的逆定理（两相交线段各自被交点分成的两线段之积相等）。5、四点到某一定点距离相等。
本题采用的是法3，由条件可证，相似，继而可得对应角相等，从而得出结论。
（Ⅱ）两弦垂直平分线的交点是圆心（利用圆心到圆上各点距离相等）由条件可得各线段长度，利用勾股定理可求出圆的半径。
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