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2011年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷):文数第22题

  2016-10-28 09:14:24  

(2011新课标卷计算题)

 (本题满分10分)

选修4-1:几何证明选讲

如图,分别为的边上的点,且不与的顶点重合。已知的长为长为的长是关于的方程的两个根。

(Ⅰ)证明: 四点共圆;

(Ⅱ)若,且,求所在圆的半径。

【出处】
2011年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷):文数第22题
【答案】

 (Ⅰ)连接,由题意,在中, ,即。      ......2分

,从而,      ......3分

因此 。      ......4分

所以,四点共圆。      ......5分

(Ⅱ)时,方程的两根为,故  。      ......6分

的中点的中点,分别过的垂线,两垂线相交于点,连接

因为四点共圆,所以四点所在圆的圆心为,半径为

由于 ,故,      ......8分

四点所在圆的半径为。      ......10分

【解析】

本题主要考查圆及初等函数的性质。

(Ⅰ)证四点共圆的方法包括:1、三点共圆,证第四点也在圆上。2、两个同侧共底边三角形顶角相等。3、四边形对角互补,即其一个外角等于其邻补角的内对角。4、相交弦定理的逆定理(两相交线段各自被交点分成的两线段之积相等)。5、四点到某一定点距离相等。

本题采用的是法3,由条件可证相似,继而可得对应角相等,从而得出结论。

(Ⅱ)两弦垂直平分线的交点是圆心(利用圆心到圆上各点距离相等)由条件可得各线段长度,利用勾股定理可求出圆的半径。

【考点】
圆与方程函数与方程


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