2011年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）：理数第20题<-->2011年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）：理数第22题
（本题满分14分）
已知是底面边长为的正四棱柱，是和的交点。
（1）设与底面所成的角的大小为，二面角的大小为。求证：；
（2）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高。
设正四棱柱的高为。
（1） 连，底面于，
所以与底面所成的角为，即，
因为，为中点，所以，又，
所以是二面角的平面角，即，
所以，。
（2） 建立如图空间直角坐标系，有，，，，，，，
设平面的一个法向量为，
因为，取得，
所以点到平面的距离为，则。
本题主要考查线面角、二面角与空间向量。
（1）关键在于找到线面角和二面角的平面角分别为和，然后在解三角形中得到关系。
（2）建立坐标系，以正四棱柱的高为自变量，列出关于点到平面的距离为得到对应的的方程，求解出值。
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