2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）：理数第21题<-->返回列表
（本题满分14分）
（1）如图，
对于任一给定的四面体，找出依次排列的四个相互平行的平面使得，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；
（2）给定依次排列的四个相互平行的平面，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体的四个顶点满足：，求该正四面体的体积。
（1）如图所示，
取的三等分点，的中点，的中点，过三点，作平面，
过三点作平面，因为，所以平面∥平面，
再过点分别作平面与平面平行，那么四个平面，，，依次相互平行，
由线段被平行平面截得的线段相等知，其中每相邻两个平面间的距离相等。
故为所求平面。
（2）如图，现将此正四面体置于一个正方体中(或者说，
在正四面体的四个面外侧各镶嵌一个直角正三棱锥，得到一个正方体)，分别是的中点，
和是两个平行平面，若其距离为，则四面体即为满足条件的正四面体．
如图是正方体的上底面，现设正方体的棱长为，
若，则有，。
据，得，
于是正四面体的棱长，其体积。（即等于一个棱长为的正方体割去四个直角正三棱锥后的体积）
如图为三个平行的平面，平面间距离相等，直线与三个平面的交点为，则。由此可得题目所求这四个平面应有的性质：平面与棱的交点为等分点。
本题考查正四面体体积和四面体的相关位置关系。
（1）将直线三等分，其中另两个分点依次为，，连接，，作平行于，的平面，分别过，，即为，。同理，过点，作平面，即可得出结论。
（2）可设正方体的棱长为，若，则有，，又可由三角形相似得，可解出，继而可求出棱长，从而可求出体积。
全网搜索"2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）：理数第22题"相关
